Finite Field, Galois Field, Galois Finite Field   유한체, 갈로아체, 갈로이스체, 갈로아 유한체

(2016-12-25)

확대체, 부분체, Galois Theory, 갈로아 이론

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  3. 유한체,갈로아체

1. 유한체 (Finite Field)  

  ㅇ 유한개 원소를 갖는 대수 체계를 갖춘 체(Field)
     - 즉, 유한체 집합 내 원소의 연산(뎃셈,곱셈) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨

  ㅇ 유한체를 `갈로이스체(Galois Field)` 라고도 불리움 
     - 갈로아 이론 : 체의 대칭성 구조를 군(Group)의 구조로 바라다볼 수 있게 한 이론
     * 갈로이스(Pierre Galois 또는 Evariste Galois,1811-1832) : 프랑스 수학자

  ㅇ 유한체는 부호화 이론, 암호학 등에서 많이 응용되는 대수적 구조임
     - 실수체 R, 복소수체 C 등은 그 요소 수가 무한 개인 체(Field)이나,
     - 갈로이스체는 유한체(Finite Field)라고해서 그 요소 수가 유한(제한)개임


2. 유한체 표현
                                                                   
  ㅇ q개의 원소를 갖는 유한체 표현 : GF(q) 또는 Fq 또는  GF(pn)
     - GF(pn) : q = pn개의 유한개 원소를 갖는 유한체(Galois체)
        . q : 유한체 원소의 개수 (소수(素數)멱(冪) 만 가능 : 갈로이스가 밝힘)
           .. 소수(素數) p의 n 거듭제곱인 pn=q 개(0 포함)의 유한개 원소를 갖음
        . p : 소수(素數)
        . n : 양의 정수(整數)
        . GF(q) : 차수/위수(order) q를 갖는 유한체


3. 유한체 길이/차수(order) q  => 유한체 중요 성질원소의 개수가 항상 소수(p)의 거듭제곱(pn=q)이 됨 (갈로이스가 밝힘)
     
  ㅇ 전영(0) 원소를 뺀 나머지 원소들은 순환 군(Cyclic Group)을 이룸


4. 유한체 표현 例) (코딩이론에서 많이 쓰이는 사례)

  ㅇ 例)  GF(2) 또는 ( {0,1}, +, x )
     - 21=2개의 유한개 원소 {0,1}를 갖는 2진 유한체 (binary field)
         
     - 성질 : (정수 modulo 2)의 환(Ring)과 같음

  ㅇ 例)  GF(3)
     - 3개의 유한개 원소 {0,1,2}를 갖는 3진 유한체 (ternary field)
      
     - 성질 : (정수 modulo 3)의 환(Ring)과 같음

  ㅇ 例)  GF(4)
     - 4개의 유한개 원소 {0,1,β,β2}를 갖는 4진 유한체 (quaternary field)
      
     - 성질 
        . (정수 modulo 4)의 환(Ring)과 같지 않음
        . x + x = 0, β2 = β + 1, β3 = 1, 
        . β4 = β2β2 = (β + 1)(β + 1) = β2 + β + β + 1 = β

  ㅇ 例)  GF(2n)
     - 2n개의 유한개 원소들을 갖는 유한체 
        . 원소 `0` 및 `1`로 구성된 n-tuple로 표현 가능
        . 즉, 


5. 확대체(extension field), 부분체(subfield), 체의 확대(field extension)

  ※ 임의 정수 n에 대해 GF(p)를 GF(pn)로 확장할 수 있음

  ㅇ GF(p)의 확대체 : GF(pn)
     -  (응용에서 필수적인 개념임)

  ㅇ GF(pn)의 부분체 : GF(p) 
     -  GF(p) 또는 GF(p1)를 소체(prime field)라고도 함

  ㅇ 체의 확대 : 부분체 및 확대체의 관계
     -  GF(pn)/GF(p)로 표기함.

  ※ 例) 복소수체 C는 실수체 R의 확대(C/R), 
         실수체 R은 유리수체 Q의 확대(R/Q),
         또한 C/Q도 체의 확대임


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