z Transform   z 변환

(2020-06-03)
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1. z 변환이산시간 신호(즉,수열)을 복소평면상의 z 영역으로 변환하여 해석하는 도구
     - 이산 시스템의 입출력 관계를 쉽게 표현할 수 있게함


2. z 변환의 특징이산시스템 표현 및 해석을 단순화시켜줌
     - 수학적 취급이 간결함 (외형상 복소수지수함수 형태가 드러나지 않음)
     - 가감승제 정도의 계산으로 바꾸어 취급함 (차분방정식을 간단한 대수 방정식으로 변환시킴)

  ㅇ 타 변환과 밀접한 관계를 갖음
     - 연속 미분방정식의 해석             => 라플라스 변환 (연속시간)
     - 이산 차분방정식의 해석             => z 변환 (이산시간)
     - 이산시간 푸리에변환(DTFT)의 일반화 => z 변환


3. z 변환의 정의

  ㅇ z 변환
     - 단방향 z 변환
        
[# X(z) = Z\{x[n]\} = \sum^{\infty}_{n=0}x[n]z^{-n} = x[0]z^0+x[1]z^{-1}+\cdots #]
- 양방향 z 변환
[# X(z) = Z\{x[n]\} = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]z^{-n} = \cdots+x[-1]z^1+x[0]z^0+x[1]z^{-1}+\cdots #]
역 z 변환
[# x[n] = Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_T X(z)z^{n-1}dz #]
z 변환쌍 관계
[# x[n] \overset{Z} \longleftrightarrow X(z) #]
4. z 변환의 의미 ㅇ z 변환 X(z)에서 미지 변수 z는, - 복소 변수 z = r e = eσ+jω의 축약 표기 임 ㅇ z 변환에서 변환은, - 이산시간 신호(즉,수열)에 대한 복소주파수로의 변환이고, - 이는 복소 평면에서 정의됨 ㅇ z 변환 표현식 상의 각 항에서, - z-1,z0,z1,...은, n=-1,n=0,n=1,...에서의 시간 위치 정보를 나타내고, - x[-1],x[0],x[1],...은, 각 시간에서 표본화진폭 크기를 나타내는 계수로 해석 가능 ㅇ z 변환 표현식은, - `무한 멱급수 형태`의 `닫힌 형식(Closed Form) 표현법` 이라고 할 수 있음 ㅇ z 변환 X(z)는 무한급수임으로 n→∞일 때, - 모든 z에 대해 수렴하지 않고, 수렴영역이 존재함 ☞ z 변환 ROC 참조 ㅇ z 변환의 역변환은, - 라플라스 변환 처럼 주로 부분분수 전개법에 의한 표찾기 방법에 의해 구해짐 5. z 변환에 의한 연산소자 표현 ㅇ z 복소변수시간이동 요소로 간단히 적용 가능 ☞ 이산연산소자 참조 - zk : 선행 이동, z-k : 지연 이동 . y[n] = x[n-k] ↔ Y(z) = z-k X(z) ( k : 지연 단위 ) 6. z 변환 및 이산시간 푸리에 변환(DTFT) 관계 ㅇ z 변환이 더 포괄적인 변환이며, DTFT는 z 변환의 특수한 경우 - z 평면 내 크기 r = 1인 원(單位圓)에서 만 계산된 z 변환 = DTFT(이산시간푸리에변환) 7. [z 변환 관련 참고사항] ㅇ z 변환이 가능한지 여부 ☞ `z 변환 가능` 참조 ㅇ z 변환의 신호연산적 성질 ☞ `z 변환 성질` 참조 ㅇ z 변환,역 z 변환의 변환쌍 ☞ `z 변환 쌍 ` 참조


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