z Transform   z 변환

(2015-08-28)
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1. z 변환이산시간 신호(수열) 표현을 복소평면상의 z 영역으로 변환하여 해석하는 도구
     - 이산시스템의 입출력 관계를 쉽게 표현할 수 있게함


2. z 변환 특징이산시스템 표현 및 해석을 단순화시켜줌
     - 외형상 복소수지수함수 형태가 드러나지 않아, 수학적 취급이 간결해짐
     - 차분방정식을 단순한 대수방정식으로 변환시켜줌

  ㅇ 타 변환과 밀접한 관계를 갖음
     - 연속 미분방정식의 해석             => 라플라스 변환 (연속시간)
     - 이산 차분방정식의 해석             => z 변환 (이산시간)
     - 이산시간 푸리에변환(DTFT)의 일반화 => z 변환


3. z 변환 정의

  ㅇ z 변환

     - 단방향 z 변환
     

     - 양방향 z 변환
     

     * 여기서, 
        . z는 복소 변수 z = r e = eσ+jω
        . z 변환은 복소 평면에서 정의됨

     * 시간 수열 신호의 z 변환은 다음과 같은 의미를 갖음
        . z-1,z0,z1 등은 n=-1,n=0,n=1 등에서의 시간 위치 정보를 포함하는 것으로 해석 가능
        . x[-1],x[0],x[1] 등은 각 시간에서의 크기를 나타내는 계수로 해석 가능

     * 또한, z 변환은 무한 멱급수의 닫힌 형식(Closed-form) 표현법 이라 할 수 있음

  ㅇ 역 z 변환
     
     - 역변환은 라플라스 변환 처럼 주로 부분분수 전개법에 의한 표찾기 방법에 의해 구해짐

  ㅇ z 변환쌍 관계
     


4. z 변환에 의한 연산소자 표현

  ㅇ z 복소변수시간이동 요소로 간단히 적용 가능              ☞ 이산연산소자 참조
     - zk : 선행 이동, z-k : 지연 이동
       
        .  y[n] = x[n-k]  ↔  Y(z) = z-k X(z)   ( k : 지연 단위 )


5. z 변환 및 이산시간 푸리에 변환(DTFT) 관계

  ㅇ z 변환이 더 포괄적인 변환이며, DTFT는 z 변환의 특수한 경우
     - z 평면 내 크기 r = 1인 원(單位圓)에서 만 계산된 z 변환 = DTFT(이산시간푸리에변환)
     


6. z 변환 관련 특성

  ㅇ z 변환이 가능한지 여부     ☞ `z 변환 가능` 참조 
  ㅇ z 변환의 신호연산적 성질   ☞ `z 변환 성질` 참조
  ㅇ z 변환,역 z 변환의 변환쌍  ☞ `z 변환 쌍 ` 참조


[변환 종류] 1. 푸리에 변환 2. 라플라스 변환 3. z 변환 4. 힐버트 변환 5. DCT 변환
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