1. 미분 방정식 (Differential Equation)
ㅇ 미지 함수와 이의 도함수를 포함하는 방정식
- 미지의 함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 사이에 어떤 관계를 나타내는 방정식
. 例)
※ 18세기 스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨
2. 수학적 모델링과 그 풀이 및 예측
ㅇ 물리계의 수학적 모델링
- 자연계의 물리적 현상을 수학적 모델링하여 미분방정식으로 표현하게 됨
. 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여, 몇 단계를 거치며 `미분방정식`과
그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정
- 대부분, 계속 변화되는 변화률의 관계를 나타내게됨
. 例) 자유 낙하 방정식 : d2y/dt2 = g
. 例) 조화 진동 방정식 : m d2x/dt2 = - k x
ㅇ 미분방정식의 풀이 ☞ 미분방정식 풀이 참조
- 미분방정식을 만족하는 `미지 함수` = `독립변수의 연속 함수`(해,解) 를 구하는 것
ㅇ 미분방정식의 해(근) ☞ 미분방정식 해 참조
- 일반 대수방정식과는 달리, 그 근이 숫자가 아닌 함수(독립변수로 구성)
ㅇ 예측성
- 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음
3. 미분방정식의 표현 형태
ㅇ 양함수형(explicit form)
- 독립변수와 종속변수가 분리된 형태
. 例) y′= F(x,y)
ㅇ 음함수형(implicit form)
- 독립변수와 종속변수가 분리되지 않는 형태
. 例) F(x,y,y′) = c
4. 주요 미분방정식 구분
ㅇ 상 미분방정식 (Ordinary Differential Equation,ODE) : F(x,y,y',...,y(n))
- 미지 함수(해 함수)에 대한 1 이상의 도함수를 포함하는 방정식
. 단일 독립변수(x), 1 이상의 종속변수(y)의 상 도함수 만을 포함
. 例) dy/dx + 4y = ex
- 보통, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 말함
ㅇ 편 미분방정식 (Partial Differential Equation,PDE)
- 미지 함수(해)의 편 도함수를 포함한 미분방정식
. 2 이상의 독립변수에 대해, 1 이상의 종속변수의 편 도함수를 포함
. 例) ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0
ㅇ 연립 미분방정식 (system of differential equations)
- 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나,
- 공통의 해를 갖는 미분방정식
5. 미분방정식의 분류 및 주요 용어
※ ☞ 미분방정식 용어 참조
- 계수(order) 및 차수/멱수/멱지수(degree)
- 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
- 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식
- 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
- 임의 상수 (적분 상수) 등
6. 초기값 문제, 경계값 문제
ㅇ 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제