Differential Equation   미분 방정식

1. 미분 방정식 (Differential Equation)

  ㅇ 미지 함수와 이의 도함수를 포함하는 방정식
     - 미지의 함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 사이에 어떤 관계를 나타내는 방정식

        . 例) 

  ※ 18세기 스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨


2. 수학적 모델링과 그 풀이 및 예측

  ㅇ 물리계의 수학적 모델링
     - 자연계의 물리적 현상을 수학적 모델링하여 미분방정식으로 표현하게 됨
        . 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여, 몇 단계를 거치며 `미분방정식`과 
          그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정

     - 대부분, 계속 변화되는 변화률의 관계를 나타내게됨
        . 例) 자유 낙하 방정식 : d2y/dt2 = g
        . 例) 조화 진동 방정식 : m d2x/dt2 = - k x

  ㅇ 미분방정식의 풀이                              ☞  미분방정식 풀이 참조
     - 미분방정식을 만족하는 `미지 함수` = `독립변수의 연속 함수`(해,解) 를 구하는 것

  ㅇ 미분방정식의 해(근)                            ☞  미분방정식 해 참조
     - 일반 대수방정식과는 달리, 그 근이 숫자가 아닌 함수(독립변수로 구성)

  ㅇ 예측성
     - 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음


3. 미분방정식의 표현 형태

  ㅇ 양함수형(explicit form) 
     - 독립변수와 종속변수가 분리된 형태
        . 例)  y′= F(x,y)

  ㅇ 음함수형(implicit form)
     - 독립변수와 종속변수가 분리되지 않는 형태
        . 例)  F(x,y,y′) = c


4. 주요 미분방정식 구분

  ㅇ 상 미분방정식 (Ordinary Differential Equation,ODE) : F(x,y,y',...,y(n))
     - 미지 함수(해 함수)에 대한 1 이상의 도함수를 포함하는 방정식
        . 단일 독립변수(x), 1 이상의 종속변수(y)의 상 도함수 만을 포함 
        . 例)  dy/dx + 4y = ex
     - 보통, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 말함

  ㅇ 편 미분방정식 (Partial Differential Equation,PDE)
     - 미지 함수(해)의 편 도함수를 포함한 미분방정식
        . 2 이상의 독립변수에 대해, 1 이상의 종속변수의 편 도함수를 포함
        . 例)  ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0

  ㅇ 연립 미분방정식 (system of differential equations)
     - 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나, 
     - 공통의 해를 갖는 미분방정식


5. 미분방정식의 분류 및 주요 용어

  ※ ☞ 미분방정식 용어 참조
     - 계수(order) 및 차수/멱수/멱지수(degree)
     - 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
     - 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식 
     - 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
     - 임의 상수 (적분 상수) 등


6. 초기값 문제, 경계값 문제

  ㅇ 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제