grad   Gradient Operation   경도 연산, 기울기 연산, 구배

(2018-04-13)

경도

1. 구배 (勾配, Gradient) 또는 기울기/경도 이란?

  ㅇ [일변수 함수] ☞ 기울기 참조

  ㅇ [다변수 함수]
     - 어떤 장(場)(스칼라함수,벡터함수)에서 기울기(변수의 변화율)를 일반화시킨 것


2. 기울기 연산 (Gradient Operation)스칼라장 Ψ에  ∇Ψ 이라는 기울기 연산을 취하면,
     - 그 결과가, Ψ의 `최대 공간 증가율(변화가 가장 빠르게 일어나는)`의 크기와 방향을
       동시에 나타내는 벡터가 됨

  ㅇ 즉, 주어진 점에서, ∇Ψ 라는 기울기 벡터는,
     - 그 점에서 벡터 방향이, Ψ가 최대의 변화율을 보이는 방향 임
     - 그 점에서 벡터 크기가, 단위 좌표 길이 당 Ψ의 최대 변화율
3. 기울기 연산자 (Gradient Operator) :  ∇(·) 또는 grad (·)스칼라장벡터장으로 변환시키는 벡터 미분 연산자
     - 위치에 따라 물리량의 크기가 변화하는 공간(온도,퍼텐셜 등)에 쓰이는 연산자
        . 변화가 가장 빠르게 일어나는 방향 및 그 변화율을 계산할 수 있게 함

  ㅇ 기울기 연산자 표기
     -   grad Ψ =  ∇Ψ = ∂Ψ/∂x ax + ∂Ψ/∂y ay + ∂Ψ/∂z az기울기 연산의 결과가 벡터가 됨 => 기울기 벡터

  ※ 여기서, ∇Ψ 또는 grad Ψ 를, `기울기 벡터 (Gradient Vector)` 또는
                                   `기울기 벡터장 (Gradient Vector Field)` 이라고 함

     - 기울기 벡터 : 다변수 함수에서 각각의 축 방향의 기울기를 원소로 갖는 벡터
        . 각 축방향 편미분계수를 성분으로 갖는 벡터 
           .. grad f = ▽f = < fx, fy, ... > = < Dxf, Dyf, ... > = < ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z >
     - 기울기 벡터의 방향 : 등위면에 수직 임


4. 기울기 연산의 성질 요약

  ㅇ ∇Ψ의 크기          :  단위길이 당 Ψ 의 최대 변화율이 됨

  ㅇ ∇Ψ의 방향          : Ψ의 최대 변화율(최대로 증가하는) 방향을 가리킴

  ㅇ 임의의 점에서의 ∇Ψ :  등전위면에 대해 수직한 `기울기 벡터`가 됨

  ㅇ F = - ∇Ψ 인 함수 Ψ가 존재할 때,
     -  F를 보존력장 이라고 하고, 
     -  Ψ를 포텐셜 함수 라고 함
        . 주로, 위치에 따라 포텐셜 에너지가 변화하는 함수적 의존 관계를 표현하는 함수


5. 좌표계에 따른 기울기 연산 표현직각좌표계   원통좌표계   구좌표계     


6. 기울기 연산 관련 주요 공식

  ㅇ  ∇ (c U)  = c ∇U  (단, C는 상수)

  ㅇ  ∇(U + V) = ∇U + ∇V

  ㅇ  ∇(U V) = U (∇V) + V (∇U)

  ㅇ  ∇(U/V) = [V(∇U) - U(∇V)]/V2

  ㅇ  ∇Vn = n Vn-1 ∇V


[장(場) 벡터연산] 1. 장(Field) 2. 델 연산자 3. 기울기 연산 4. 발산 5. 라플라시안 6. 컬(회전) 7. 텐서

 
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