Numerical Integral   수치 적분

(2018-01-04)
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1. 수치 적분 (Numerical Integral)

  ㅇ 수치적으로 정적분을 구하는 것

  ㅇ 수치 적분이 필요할 때
     - 함수 형태 적분 : 어떤 함수적분(피적분함수)을 해석적으로 구할 수 없을 때,
     - 도표 형태 적분 : 피적분함수가 알려지지 않고 단지 이산 값 만이 주어질 때


2. 근사정적분 이란?정적분근사값을 구하는 것
     - 적분 곡선 아래의 면적을 구하는 것과 등가적임 
        . `수치 구적법(Numerical Quadrature)` 또는 `수치 정적분` 이라고도 함

  ※ 구적법(Quadrature) : 기지의 충분히 작은 기본 도형으로 세분하여 넓이나 부피 합을 구함
     - 컴퓨터 이전의 도해적인 방법으로, 
        . 세밀한 모눈 종이 위에 함수 그림을 그리고, 
        . 그 곡선 아래 작은 정사각형 개수를 세는 등
     

3. 사각형 적분법 (Rectangular Integration)

  ㅇ 도해적인 구적법의 수치적인 해법

  ㅇ 곡선 아래 분할 수직 직사각형 띠들의 면적의 합으로 적분 근사값을 구함
     - 각 띠의 중점이 함수 값과 일치
      


4. 개선된 적분법

  ※ 복잡한 함수나 수치화된 데이터들을 적분이 용이한 다항식으로 대체하여 구하는 방법

  ㅇ 뉴튼 코츠 공식 (Newton-Cotes Formula)
     
      - 사다리꼴 공식 (Trapezoidal Rule)
         . 사각형 적분법의 직사각형 띠를 사다리꼴로 대체
            .. 양끝점에서의 함수값들의 산술평균을 높이로 삼음
            .. 각 조각의 끝을 연결하는 일련의 선분으로 근사시킴
         . 각 절점 구간 마다 선형 다항식으로 근사시켜 적분을 구함
      - Simpson 공식 (Simpson Rule) 
         . 한번에 세절점 두 부분구간으로 나누고 2차 다항식으로 보간하여 적분하는 법
         . 사다리꼴 공식의 확장

  ㅇ 가우스 구적법
     - 등간격이 아닌 절점을 선택하여 구하는 방법


5. [기타]

  ㅇ 몬테칼로 적분 (Monte Carlo Integration)
     - 모의 실험을 통해 함수의 적분값을 추정하는 방법


[수치 미분/적분] 1. 수치 미분 2. 차분 3. 수치 적분 4. 적분 방정식

 
        최근수정     요약목록     참고문헌