Exact Differential Equation   완전 미분방정식

1. 전미분 방정식 (Total Differential Equation)

  ㅇ 미분방정식 보다는, 다음과 같은 이변수 함수로부터 출발하면,
         
[# u(x,y) = C #]
 ... (1)
  ㅇ 위 함수의 전미분은,
         
[# \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy = 0 #]
 ... (2)
  ㅇ 이 전미분을, 다음의 1계 미분방정식 형태로 바꿀 수 있음
         
[# \frac{d y}{d x} = - \frac{ {\partial u}/{\partial x} }{ {\partial u}/{\partial y} } = f(x,y) #]
 ... (3)
  ㅇ 이때, 다음과 같이 가정해보면,
         
[# \frac{\partial u}{\partial x} = M(x,y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x,y) #]
 ... (4)
  ㅇ 다음과 같은 식 형태를, `완전 미분형` 이라고 함
         
[# \frac{d y}{d x} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} = f(x,y) #]
 ... (5)
  ㅇ 위 식 (4)를 식 (2)에 대입하면, 전미분 미분방정식 형태를 갖음
         
[# M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 #]
 ... (6)


2. 완전 미분형 미분방정식 (Exact Differential Equation)

  ㅇ 전미분 방정식 형태인 위 식 (6)이, 다음 조건을 만족할 때, (완전 미분형이 되기 위한 조건)
         
[# \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} #]
  ㅇ 이러한 함수 u(x,y)가 존재하면, 이를 `완전 미분형 미분방정식`이라고 함
         
[# \partial u = ({\partial u}/{\partial x})dx + ({\partial u}/{\partial y})dy = M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \\
            \frac{d y}{d x} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} = f(x,y) #]


3. 완전 미분형 미분방정식 형태의 例)

   
[# ㅇ \quad y' = - \, \frac{\sin y}{2y + x \cos y} \\
         \quad\quad \Rightarrow \; M = \sin y, \; N = 2y + x\cos y, \\
         \quad\quad \Rightarrow \; \frac{\partial M}{\partial y} = \cos y = \frac{\partial N}{\partial x} \quad {\small (조건 \; 만족)} \\ \\

      ㅇ \quad (x^3 + y e^{xy})dx + (y^3 + x e^{xy})dy = 0 \\
         \quad\quad \Rightarrow \; M = x^3 + ye^{xy}, \; N = y^3 + xe^{xy}, \\
         \quad\quad \Rightarrow \; \frac{\partial M}{\partial y} = (1+xy)e^{xy} = \frac{\partial N}{\partial x} \quad {\small (조건 \; 만족)}  \\ \\

      ㅇ \quad u(x,y) = x^2y \\
         \quad\quad \Rightarrow \; \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 2x \quad {\small (조건 \; 만족)} #]


4. 완전 미분방정식의 풀이

  ㅇ 어떤 함수 u(x,y)가, 
     - 완전 미분형 미분방정식 형태를 갖으면,
     - 이 미분방정식의 해는, u(x,y) = C의 해가 됨

  ㅇ 결국, 이 식의 적분 상수 C의 역도함수를 찾으면, 완전 미분방정식 형태의 일반해는,
        
[# u(x,y) = \int_x M(x,y)dx + h_1(y) = \int_y N(x,y)dy + h_2(x) = C #]

     - 한편, 이 같은 일반해는, 음함수 형태를 갖음을 유의