Group (군), Group Axiom, Group Theory   군 (Group), 군 (群), 군 공리, 군론

(2018-05-09)

위수 (Order), 군 , Group

1. 군 (Group,群) 이란?

  ㅇ 일반적으로, 어떤 성질을 만족하는 대상(object)들의 집합을 일컬음

  ㅇ [수학]  군 또는 군론 (Group Theory)
     - 대칭적인 성질을 만족하는 어떤 수학적 구조(대수적 구조)를 다룸
        . 기하학적 변환/대수적 변환에서도 불변하는 것
     - 대칭성(Symmetry),불변성(Invariance)을 다루는 수학적 도구 


2. 대수 구조로써의 군(群)

  ㅇ 가장 기초적인 대수 구조인 군(群)은, 1개의 연산(이항연산) 만을 갖는 대수 구조임
     - 例 1) 1개의 연산을 갖는 대수 구조 : 수,함수,벡터,다항식 등 군(Group)
     - 例 2) 2개의 연산을 갖는 대수 구조 : 환(Ring), 체(Field), 벡터공간 등

  ㅇ 군의 표기 :  ( G, * )  또는  < G, * >  또는  { G, * }
                  또는, 연산이 분명하면 간단히 그냥 `군 G` 로 만 표기
     - 여기서, G : 군의 원소 집합, * : 군의 연산


3. 군의 공리 (Group Axiom) 집합 G 및 이항연산 * 이 있을 때, 다음의 4가지 공리(성질,조건)들을 만족함

  ㅇ ①  이항연산 * 에 대해 `닫혀있음` (Closure)
     -   a * b 연산 결과도 집합 G 에 속함
        . 순서쌍 (a,b)들의 곱(카테시안 곱) 연산에 대해 닫혀있음
        . 즉, 어떤 집합의 임의의 두 원소들(순서쌍) 간에 연산이 행해질 때, 
              그 결과 역시도 그 집합의 원소가 됨

  ㅇ ②  이항연산 * 에 대해 `결합법칙 성립` (Associativity)
     -   a,b,c 모두 집합 G 에 속하고, a * (b * c) = (a * b) * c 임

  ㅇ ③  이항연산 * 에 대해 `항등원이 존재` (Identity Element)
     -   e * a = a * e = a
        . 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기
        . 모든 군은 반드시 하나의 항등원이 존재함

  ㅇ ④  이항연산 * 에 대해 `각 원소의 역원이 존재` (Inverse Element)
     -   a * a-1 = a-1 * a = E
        . 보통, a-1로 표기

  ※ 한편, 
     - ①,② 만 존재하면 => 반군
     - 반군에 ③까지도 존재하면 => 모노이드
     - ①,②,③,④ 모두 존재하면 => 군(群)


4. 군의 차수/위수 (order)

  ㅇ 군의 원소의 총 개수를 말함  :  |G|  또는  O(g)  또는  Gn  또는  ord(G)
     - 한편, 집합의 경우에는 ☞ Cardinality(원소의 개수,基數) 참조


5. 군의 종류

  ※ ☞ 군의 종류 참조
     - 반군,유한군/무한군,가환군(아벨군),순환군,덧셈군/곱셈군,부분군,정규 부분군
6. 군이 대상으로 삼을 수 있는 분야수론 : 수집합 ℤ(정수),ℚ(유리수),ℝ(실수),ℂ(복소수)는 덧셈 연산 하에서 군을 이룸

     - 例) 정수 집합 내에서 덧셈 연산 : ( ℤ, + )
        . ①  두 정수의 덧셈은 정수 (닫혀있음)
        . ②  a + (b + c) = (a + b) + c (결합법칙 성립)
        . ③  0 + a = a + 0 = a (항등원 존재) 
        . ④  임의 정수 (-a) + a = 0 (각 원소에 역원이 존재) 

     - 例) 정수 집합 내에서 곱셈 연산 ( ℤ, * )은 군이 아님
        . ④ 역원 공리 성립 안함 (例, 5 b = 1을 만족하는 정수 b는 존재 안함)

  ㅇ 대수 방정식 이론 : 방정식(Roots)

  ㅇ 기하학적 변환 : 어떤 도형을 회전시키는 대칭 동작 
     - 例) 강체운동 군 등

  ㅇ 응용 분야 : 분자 대칭성대칭 조작


[군(Group)] 1. 군(Group) 2. 군의 종류 3. 가환군 4. 대칭성 5. 대칭 조작 6. 치환

 
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