Orthogonal, Orthogonality, Orthogonal Space, Orthogonal Set   직교성, 직교, 직교 공간, 직교 집합

(2017-09-22)

Orthogonal Vector Space, 직교 벡터 공간, Orthogonal Function Space, 직교 함수 공간

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1. 직교성(Orthogonality)

  ㅇ 수학적으로, 각 요소들이 서로 독립적임을 나타내는 용어

  ㅇ 일반적으로, 신호/현상 상호 간에 전혀 관련성이 없음을 의미
     - `직교성`  <-(반대)->  `상관성(상관관계)`

  ※ [어원/용어] 
     - 그리스어 `orthos` : 곧은(straight),옳은/정확한(right,true),직각을 이루는 등을 의미
     - 직교(直交) : `직각(直角)으로 만나다(交)`의 뜻

     * 직각은 기하학적인 용어이고, 
       직교는 기하학대수학 등 모두를 포괄하는 광의의 용어

  ※ `직교성` 이해 
     - 수학적으로 비교의 개념을 구분시켜 살펴본다면, ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조


2. 벡터함수에서 직교성 판단

  ※ `내적`이라는 수치값에 의해, 
     - 벡터,함수 등은 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음

  ㅇ 벡터 직교성
     -  두 벡터내적(Inner Product/Dot Product)이 `0`
        .  < x,y > = x·y = xTy = 0

  ㅇ 함수 또는 신호 직교성
     - 두 함수를 곱하여 적분한 결과가 `0`
        . 실수 함수
          
        . 복소수 함수
          

     - 유한구간 (a,b)에서의 직교성
        

     * 대표적인 직교성 검토 例) (정현파 신호,복소지수 신호)
        


3. 직교 집합(Orthogonal Set), 직교 공간(Orthogonal Space) 

  ※ `공간`, `집합`, `생성`, `직교`의 의미 
     - 집합 : 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 요소들의 모음
     - 공간 : 집합의 요소들이 어떤 대수적 구조를 갖는 틀 내에서 그려내는 공간
     - 생성 : 집합이 어떤 규칙에 따라 공간생성함
     - 직교 : 구성 요소들 간에 서로 독립적/관계없음

  ㅇ 직교 집합(Orthogonal Set)
     - 집합 요소들이 서로 직교성을 이룸
        . 例) S = { u1=(1,0,0), u2=(0,1,-1), u3=(0,1,1) }
           .. < u1,u2 > = < u1,u3 > = < u2,u3 > = 0  
           .. 따라서, 집합 S는 직교성이 성립되는 직교집합임

  ㅇ 직교 벡터 공간 (Orthogonal Vector Space)
     - 서로 직교하는 각각의 벡터 성분들의 선형결합으로 생성(Span)되는 공간
        . 벡터 집합 {u1,u2,...} 내의 서로 다른 모든 요소(벡터)들이 모두 직교할 때
           .. 즉,  <ui,uj> = 0   (i ≠ j)

  ㅇ 직교 함수 공간 (Orthogonal Function Space)
     - 기저함수(Basis Function)라고하는 선형 독립 함수들로 생성(Span)되는 공간
        . 함수 집합 {Φ1(x),Φ2(x),...} 내의 서로 다른 요소(함수)들이 구간 (a,b)에서 모두 직교할 때
           .. 즉, 


4. 신호를 직교 집합으로 표현하는 이유

  ㅇ 표현 방식의 단순화 (수학적으로 다루기 편리함)
     - 임의 신호를 직교 파형들의 가중합으로 근사적으로 표현할 수 있기 때문

  ㅇ 시각화 가능
     - 신호공간에서 신호 벡터에 의한 점으로 표현 가능

  ㅇ 선형시스템 응답을 구하는데 편리
     - 전체 시스템응답이 각 개별 입력 응답의 선형결합으로 나타남


5. 분야별 직교성 의미

  ㅇ [신호 해석 분야]  `직교(直交)`
     - 어떤 신호들이 무리를 이루고 있을 때 이 무리에 속한 임의의 두 신호를 선택하더
       라도 이 두 신호가 서로 직교함(독립적임) 
        . 어느 하나의 신호라도 신호 무리들 중 다른 신호들의 결합된 형태로 표현 못함
           .. 직교 신호 例) cos (2πfct) 및 cos (2πfct + 90˚) = - sin (2πfct)

  ㅇ [푸리에 급수]  `신호푸리에급수 표현`
     - 직교기저 함수정현파 또는 지수신호들의 무한 집합을 이용하여 주기신호무한급수 형태로 표현

  ㅇ [통신 변조 분야]  `동위상 (In-phase)` 및 `직교위상 (Quadrature)`
     - 위상이 상호 직각(90˚)으로 직교한다는 의미로써, 
        . 동위상(In-phase) 및 직교위상(Quadrature) 으로 구분
          ☞ 직교위상변조(QM), 복소포락선, 직교위상천이변조(QPSK) 등 참조

  ㅇ [코드 분야]  `직교 코드 (Orthogonal Code)`
     - 서로 다른 코드 사이에 상호상관이 0 인 코드를 말함 ☞ 왈쉬코드(Walsh Code) 참조


[신호 공간] 1. 신호공간 2. 성상도 3. 직교성

 
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