Diagonal Matrix   대각 행렬

(2023-06-24)

1. 대각 행렬 (Diagonal Matrix)주 대각선 원소들을 제외하고, 나머지 모든 원소들이 0 인, 정방행렬
       

  ㅇ (표기)
     - n차 대각 행렬 : diag(a11,a22,...,ann)


2. 대각 행렬연산 및 성질

  ㅇ 대각행렬의 역행렬
     
     - 주 대각선 요소들의 역수가 됨

  ㅇ 대각행렬의 거듭제곱
     
     - 주 대각선 요소들의 제곱이 됨

  ㅇ 대각행렬과의 행렬곱셈
     
     - 대각행렬이 앞에 곱해지면, 각 행에 대각행렬의 주대각 성분이 곱해짐
     - 대각행렬이 뒤에 곱해지면, 각 열에 대각행렬의 주대각 성분이 곱해짐

  ㅇ 두 대각행렬 간의 행렬 덧셈,곱셈
     - 두 대각행렬 간의 행렬덧셈
        .  A + B = diag(a11,a22,a33) + diag(b11,b22,b33) = diag(a11+b11,a22+b22,a33+b33)
     - 두 대각행렬 간의 행렬곱셈
        
        . 교환법칙 성립
        . 대각행렬 간의 곱 또한 대각행렬이 됨

  ㅇ 대각행렬의 행렬식
     -  |D| = d1d2d3...dn
        . 주 대각선 모든 요소들의 곱

  ㅇ 대각행렬의 대각합(Trace)
     -  tr(A) = a11 + a22 + ... + ann
        . 정방행렬 A의 주 대각 성분들의 합

     - 대각합의 성질
        .  tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
        .  tr(cA) = c tr(A)
        .  tr(A B) = tr(B A) 
        .  tr(A B C) = tr(C B A) = tr(B C A)

  ㅇ 고유값, 고유벡터
     - 대각행렬 D고유값은, 주대각선 성분 d1, d2, ..., dn이 됨
        . 즉, 대각행렬의 대각성분 각각이 고유값에 해당됨
      - dj에 대응되는 고유벡터는, j열 성분이 1이고 나머지 성분들이 0 임
        

  ㅇ 대각행렬 D정칙행렬이 될 필요충분조건
     - 주대각선의 모든 성분에서 0 이면 안됨


3. [참고사항]

  ※ ☞ 대각화 (Diagonalization) 참조
     - 대각선 성분들 만 남기고, 나머지 성분들을 모두 0 이 되도록 하는 것

  ※ ☞ 대각화 가능 (Diagonalizable) 참조
     - 정방행렬 A에, 
     - 어떤 가역행렬 S를, Λ = S-1 A S 와 같이 적용하여, 
     - 대각행렬 Λ를 만들 수 있을 때.

대각화
   1. 대각 행렬   2. 대각화 가능   3. 대칭 행렬  
행렬 종류
   1. 행렬의 종류   2. 정방 행렬   3. 삼각 행렬   4. 전치 행렬   5. 대각 행렬   6. 직교 행렬   7. 대칭 행렬   8. 복소수 행렬   9. 계수 행렬   10. 역 행렬   11. 가역 행렬   12. 특이 행렬   13. 치환 행렬   14. 블록 행렬  
고유값문제
   1. 고유값 문제   2. 고유값 문제 용어   3. 고유값,고유벡터   4. 고유 공간   5. 고유 함수   6. 특성 방정식   7. 거듭제곱법   8. 닮음 행렬   9. 대각화  


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