Diagonal Matrix   대각 행렬

1. 대각 행렬 (Diagonal Matrix)

  ㅇ 주 대각선 원소들을 제외하고, 나머지 모든 원소들이 0 인, 정방행렬
       

  ㅇ (표기)
     - n차 대각 행렬 : diag(a11,a22,...,ann)


2. 대각 행렬의 연산 및 성질

  ㅇ 대각행렬의 역행렬
     
     - 주 대각선 요소들의 역수가 됨

  ㅇ 대각행렬의 거듭제곱
     
     - 주 대각선 요소들의 제곱이 됨

  ㅇ 대각행렬과의 행렬곱셈
     
     - 대각행렬이 앞에 곱해지면, 각 행에 대각행렬의 주대각 성분이 곱해짐
     - 대각행렬이 뒤에 곱해지면, 각 열에 대각행렬의 주대각 성분이 곱해짐

  ㅇ 두 대각행렬 간의 행렬 덧셈,곱셈
     - 두 대각행렬 간의 행렬덧셈
        .  A + B = diag(a11,a22,a33) + diag(b11,b22,b33) = diag(a11+b11,a22+b22,a33+b33)
     - 두 대각행렬 간의 행렬곱셈
        
        . 교환법칙 성립
        . 대각행렬 간의 곱 또한 대각행렬이 됨

  ㅇ 대각행렬의 행렬식
     -  |D| = d1d2d3...dn
        . 주 대각선 모든 요소들의 곱

  ㅇ 대각행렬의 대각합(Trace)
     -  tr(A) = a11 + a22 + ... + ann
        . 정방행렬 A의 주 대각 성분들의 합

     - 대각합의 성질
        .  tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
        .  tr(cA) = c tr(A)
        .  tr(A B) = tr(B A) 
        .  tr(A B C) = tr(C B A) = tr(B C A)

  ㅇ 고유값, 고유벡터
     - 대각행렬 D의 고유값은, 주대각선 성분 d1, d2, ..., dn이 됨
        . 즉, 대각행렬의 대각성분 각각이 고유값에 해당됨
      - dj에 대응되는 고유벡터는, j열 성분이 1이고 나머지 성분들이 0 임
        

  ㅇ 대각행렬 D가 정칙행렬이 될 필요충분조건
     - 주대각선의 모든 성분에서 0 이면 안됨


3. [참고사항]

  ※ ☞ 대각화 (Diagonalization) 참조
     - 대각선 성분들 만 남기고, 나머지 성분들을 모두 0 이 되도록 하는 것

  ※ ☞ 대각화 가능 (Diagonalizable) 참조
     - 정방행렬 A에, 
     - 어떤 가역행렬 S를, Λ = S-1 A S 와 같이 적용하여, 
     - 대각행렬 Λ를 만들 수 있을 때.