Binomial Distribution   이항 분포, 이항 확률분포

1. 이항 분포 (Binomial Distribution)

  ㅇ 일련의 베르누이시행으로부터 생성되는 이산 확률분포
     - 남/여, 성공/실패 처럼, 2개의 가능한 결과 만을 갖는 베르누이 시행에서,
     - 이로부터 일련의 n번 시행으로 만들어지는 이산 확률분포

  ㅇ 즉, 일련의 독립 시행인 n번의 시행에서,  (매번 성공률 p를 갖는 n번의 베르누이시행)
     - 성공(또는,실패)하는 횟수(x) 마다,  (성공 횟수를 확률변수 X로 취함)
     - 계산된 이산 확률 P(X=x)의 분포  (성공 횟수의 이산 확률 분포)


2. 이항 분포와 타 분포 간의 비교

  ㅇ (베르누이시행과 관련된 여러 분포 비교)

     - 베르누이분포 : X ~ B(1,p)
        . (1번 베르누이 시행의 성공 확률분포)
     - 이항분포 : X ~ B(n,p)
        . (n번 베르누이 시행의 성공 횟수 확률분포, n=1일 때 베르누이분포와 같아짐)
     - 기하분포 : X ~ Geo(p)
        . (처음 성공할 때까지의 베르누이 시행 횟수 분포)
     - 음이항분포(파스칼분포) : X ~ NB(k,p)
        . (k번째 성공할 때까지의 베르누이 시행 횟수 분포) 

  ㅇ 한편, 다항 분포는, 
     - 시행 결과가 단지 2개가 아닌, 여러 개로써, 다항 시행(Multinomial)에 대한 확률분포 임


3. 이항 분포의 모양

  ㅇ 성공 확률(p)에 따른 분포 모양
     - 성공 확률이, p = 0.5 일 때, 대칭적인 종 모양 (Bell Shape)
        . 기대값이 n/2 이고, 분포 중심이 이 값에 위치하게 됨 
     - 성공 확률이, p < 0.5 일 때, 왼쪽으로 치우침 (left-skewed)
        . 왼쪽이 더 길어지고 오른쪽이 짧아짐
     - 성공 확률이, p > 0.5 일 때, 오른쪽으로 치우침 (right-skewed)
        . 오른쪽이 더 길어지고 왼쪽이 짧아집니다.
 
  ㅇ 시행 횟수(n)에 따른 분포 모양
     - 작은 n 일 때, 특정 값 주위에 모임
        . 상대적으로 뾰족할 수 있으며, 때로는 특정 값에 집중된 막대 모양일 수도 있음
     - 큰 n 일 때, 부드러워짐
        . 특히, p = 0.5에 가까울수록, 종 모양으로 변하며,
        . 매우 큰 n 일 때, 기대치를 중심으로 좌우 대칭하는 정규분포에 근사하게 됨

  ※ [그림참조] ☞ 티스토리 (수학끄적 : 이항분포)


4. 이항분포 표기 

  ㅇ 표기 : X ~ B(n,p) 
     - 모수가 n,p인 이항분포
        . n : 베르누이 시행 횟수, p : 성공율(성공 확률)
        . X : 확률변수 (성공율 p인 베르누이 시행을 n번 반복할 때 성공횟수)


5. 이항분포 특징

  ㅇ 확률질량함수
      
[# P(X=x) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p)^{n-x} 
          = {_nC_x} \; p^x (1-p)^{n-x} \quad\quad (0 \leq x \leq n) #]
     - n : 시행 횟수, x : 성공 횟수, p : 성공 확률, (1-p) : 실패 확률
     - 
[# \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} = {_nC_k} #]
 : 이항계수
           
[# \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = C(n,k) = {_nC_k} = \frac{P(n,k)}{P(k,k)} 
              = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} #]

  ※ (특별한 경우)
     - 성공 확률이 극히 작을 때 (p << 1)
         
[# P(X=x) \approx \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^n #]
     - 시행 횟수 n이 매우 클 때
        . 확률분포 모양이 기대치를 중심으로 좌우 대칭하는 정규분포로 접근 함 
     - 시행 횟수 n이 1 일 때, 
        . 베르누이분포 B(1,p)와 같아짐

  ㅇ 기대값 : np
       
[# E[X] = E[X_1+X_2+\cdots+X_n] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n] \\
        \qquad\; = p+p+\cdots+p = np #]

  ㅇ 분산 : np(1-p)
     


6. 이항분포 例) 

  ㅇ 이항분포 유형 例) 
     

  ㅇ 이항분포 문제 例 1)
     - 표본공간 S = {0,1}, 3번 시행에서, 1번 실패(0),2번 성공(1)하는 사건의 확률은?
        . 관측 가능 수열 : 
        . 경우의 수(시행 횟수) : 3개 (n)
        . 성공 회수 : 2회 (x)
        . 이항계수 : 
        . 성공확률 : p = 1/2, 실패확률 : (1-p) = 1/2 
        . 이항분포 : X(x=2) ~ B(n=3,p=1/2)
        . 따라서, 

  ㅇ 이항분포 문제 例 2) : 디지털 통신에서, 수신 비트 오류 발생 수에 대한 확률은?
     - 길이 n 비트열을 비트 오류 확률 p 인 채널을 통해 전송할 때, 
     - 수신된 n 비트열(부호어) 내에, 1개 이상(1≤k≤n)의 비트 오류가 발생할 확률은,
         
[# P_E = \sum^n_{k=1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (1-p)^{n-k} p^k #]