Position Vector Function, Velocity Vector Function, Tangential Vector Function, Acceleration Vector Function   위치 벡터 함수, 속도 벡터 함수

1. 위치 벡터 함수 (Position Vector Function)

  ㅇ 위치 벡터
     - 원점 O에서 점 P에 이르는 벡터

  ㅇ 위치 벡터 함수
     - 시간에 따라 위치를 변화시킴으로써, 운동 물체의 경로 표현이 가능한 벡터 함수
         
[# \mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OP} 
                          = x(t)\hat{\mathbf{i}} + y(t)\hat{\mathbf{j}} + z(t)\hat{\mathbf{k}} #]

     - 이때, 변수가 취하는 범위
        . 정의역 : 실수 값(Real Valued)   (시간이 취할 수 있는 범위)
        . 치역   : 벡터 값(Vector Valued) (시간에 따라 변할 수 있는 위치 벡터 범위)


2. 속도 벡터 함수 (Velocity Vector Function) = 접선 벡터 함수 (Tangential Vector Function)

  ㅇ 위치 벡터의 각 성분별 시간 미분 

     

  ㅇ 위에서, 
     - 할선 벡터 (Secant Vector)  : r(t+△t) - r(t)
     - 접선 벡터 (Tangent Vector) : r'(t) = v  즉, 속도 벡터 (Velocity Vector)
     - 단위 접선 벡터 (Unit Tangent Vector) : T(t) = r'(t)/|r'(t)| = v(t)/|v(t)|

  ㅇ 매 순간 운동의 진행방향(접선 방향) 및 그 크기를 나타냄
     - (t) = '(t) = d/dt
        . 의 방향 : 운동 방향 (운동 곡선의 접선 방향)
        . 의 크기 : 속도 크기 (속력)


3. 가속도 벡터 함수 (Acceleration Vector Function)

  ㅇ 속도 벡터의 시간 미분 
       
[# \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = \frac{d^2x(t)}{dt^2}\hat{\mathbf{i}} + \frac{d^2y(t)}{dt^2}\hat{\mathbf{j}} + \frac{d^2z(t)}{dt^2}\hat{\mathbf{k}} #]

  ㅇ 직선 및 곡선 상의 가속도 비교
     - 직선 경로의 가속도 벡터는, `접선 가속도` 뿐 임
     - 곡선 경로의 가속도 벡터는, 두 성분으로 분해 가능
        . 즉, `접선 방향(접선 가속도)` 및 `법선 방향(법선 가속도)`으로 분해 가능

  ㅇ 곡선 운동에서 가속도 성분별 특징 
     - 접선 가속도는, 속도 벡터의 크기 만을 변화시킴
        . 즉, 속도 크기의 시간변화율
     - 법선 가속도는, 운동 방향 만을 변화시킴
        . 즉, 속도 방향의 시간변화율