1. 곡선 적합 (Curve Fitting) 또는 Approximation (근사) 이란?
ㅇ (유형 1) 데이터들을 어떤 적합한 곡선으로 맞추는 것
- 이산적인 값 사이에 있는 점들을 근사화하는 추정 곡선(함수)을 얻는 것
. 경향(trend),모델(model)을 찾으려는 것
- 주로, 적합(Fitting)이라고 칭함
ㅇ (유형 2) 복잡한 것을 단순한 것으로 묘사하는 것
* 즉, 복잡한 함수를 간단한 함수로 근사화하는 것
- 주어진 함수를 `다항식`, `잘 알려진 함수(삼각함수 등)`로 근사화
- 주로, 다항식 근사(Polynomial Approximation), 함수 근사(Function Approximation) 등으로 칭함
- 한편, 미분 이론의 목적 중 하나가 곡선과 가장 가까운 근사 다항식 구하기 등 임
ㅇ (유형 3) : (근사화에 대한 다른 관점)
- (방정식 관점)
. 방정식 해를 정확히 구할 수 없을 때, 방정식 해(값 또는 함수)를 근사적으로 구하는 것
- (벡터 관점) ☞ 벡터 투영(벡터 근사) 참조
. 벡터 관점에서, `근사(Approximation)` 및 `투영(Projection)`은 동등한 것으로 봄
- (통계 관점) ☞ 회귀 분석 참조
. 직접 관측할 수 없는 값들에 대해 관측가능한 값(변수)들 만으로,
. 확률적 함수 관계식(추세 모형)을 찾아내어,
. 이를통해 확률적으로 근사(추정 또는 예측)하는 것
※ [용어] 때론, `근사 (Approximation)`를 `추정 (Estimation)`과 동일 의미로 쓰곤 함
2. 근사(Approximation)의 例
ㅇ f(x) = a x + b 형태의 1차 함수로 근사 : 선형 근사/직선 근사(Linear Approximation)
ㅇ 함수에 대해 급수 형태로 표현(근사)하는 방법 : 테일러 근사
- 급수의 각 항 계수들을 그 함수의 도함수와 관련시켜 근사 표현
- 1차 근사식 (1차 도함수까지 만 이용)
. f(a + h) ≒ f(a) + h f'(a) (h ≒ 0)
.. 例) √(64.3) = √(64 + 0.3) ≒ 8 + (0.3)(1/2√(64)) = 8 + 0.01875 = 8.01875
.. 여기서, f(x) = √x , f'(x) = 1/(2√x)
. f(x) ≒ f(0) + x f'(0) (x ≒ 0)
.. 例) sinθ ≒ sin 0 + θ cos θ = 0 + θ = θ
.. 여기서, f(θ) = sin θ, f'(θ) = cos θ
- 2차 근사식 (2차 도함수까지 만 이용)
. f(a + h) ≒ f(a) + h f'(a) + ½ h²f"(a) (h ≒ 0)
. f(x) ≒ f(0) + x f'(0) + ½ x²f"(0) (x ≒ 0)
ㅇ 잔차의 제곱의 합을 최소화시키는 근사 : 최소자승 근사법(LSA)
ㅇ 주기적 현상에 대한 근사 : 푸리에 표현에 의한 근사
- 신호를 정현파적 신호의 일차결합으로 표현
ㅇ 증가/감소 모형에 대한 근사 : 지수함수의 일차결합에 의한 근사
3. 곡선 적합(Curve Fitting)의 방법 상의 구분
ㅇ 보간법 (Interpolation) : 기지 값들에 의해, 미지 값에 대한 근사 모형 추구
- 기지의 두 점 사이를 지나는 함수를 구해, 임의 점의 함수값을 추정하는 방법
. 주변의 이미 알려진 값들로부터 미지값을 보간 함수(보간 다항식)를 이용하여 추정
ㅇ 회귀분석 (Regression Analysis) : 데이터 집단이 갖는 추세 모형 추구
- 각 점들을 정확히 통과하지는 않지만, 데이터 집단의 경향을 보이는 하나의 곡선을 찾음
. 데이터들이 상당한 크기의 오차를 포함하거나 산재되어 있는 경우에 데이터들의
일반적인 경향을 찾아내는 것
. 점들로 이루어진 집단의 경향을 따르도록하는 곡선을 유도함