1. 확률 적률 (확률 모멘트)
ㅇ 통계학 및 확률론에서, 확률 분포의 형태(모양)를 설명하는 매우 중요한 지표
- 물리학의 '모멘트' 개념을 통계학에 도입한 것으로,
- 확률 분포의 중심, 퍼짐 정도, 비 대칭성 등을 수치화함
. 확률분포의 분포 특성에 따라, 그 대표값(수치값)이 정해지도록,
. 일반화시킨 통계량 표현
ㅇ 모집단 확률분포의 분포 특성에 대한 수치화된 정보를 제공
- 확률분포 상의 여러 통계량을 일원적으로 살펴볼 수 있음
2. 확률 적률(모멘트)의 표현 방식
ㅇ 표현 방식
- 대부분, 기대값의 함수 E[Xn]로 표시함
ㅇ 모멘트(적률)의 이산적,연속적 표현
- 이산확률변수 n차 적률 : {# m_n = E[X^n] = \sum_{x} x^np_{\scriptsize X}(x)dx #}
- 연속확률변수 n차 적률 : {# m_n = E[X^n] = \int^{\infty}_{-\infty} x^nf(x)dx #}
. ({#p_{\scriptsize X}(x)#} : 확률질량함수, {#f(x)#} : 확률밀도함수)
ㅇ `모멘트(적률)의 차수`와 `분포 특성` 간의 대응
- 0차 적률 : 확률분포 면적
- 1차 적률 : 기대값
- 2차 적률 : 분산
- 3차 적률 : 왜도
- 4차 적률 : 첨도
* 즉, 확률변수 X가 취하는 확률분포로부터,
. 대표값(면적,평균,분산,왜도,첨도 등)을 보다 일반화시켜 표현 가능
3. 확률 적률(모멘트)의 종류
ㅇ 원점 적률(모멘트) (Moment about origin)
- 원점을 중심으로하는, k차 모멘트
[# m_k = E[X^k] = \left\{
\begin{array}{ll} \sum x^k p(x) & \text{(discrete)} \\
& \\
\int x^k f(x)dx & \text{(continuous)}
\end{array}
\right. #]
ㅇ 중심 적률(모멘트) (Central Moment)
- 평균값을 중심으로하는, k차 모멘트
[# μ_k = E[(X-μ)^k] = \left\{ \begin{array}{ll}
\sum (x-μ)^k p(x) & \text{(discrete)} \\
& \\
\int (x-μ)^k f(x) dx & \text{(continuous)}
\end{array} \right. #]
ㅇ 계승 적률(모멘트) (Factorial Moment)
[# E[(X)_k] = E[X(X-1) \cdots (X-k+1)] #]
ㅇ 결합 적률(모멘트) (Joint Moment)
- 결합 확률분포에 의해 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현
[# E[X^jY^k] = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} x^jy^kf_{XY}(xy) dxdy #]
4. 표현 例 : k차 원점 적률(모멘트)
ㅇ 0차 원점 적률(모멘트) : f(x)의 면적
- [# m_0 = E[X^0] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum p_X(x) = 1 \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} f_X(x) dx = 1
\end{array} \right. #]
ㅇ 1차 원점 적률(모멘트) : 평균에 대한 기대값
- [# m_1 = E[X^1] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum x^1 p_X(x) = \bar{x} \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} x^1 f_X(x) dx = \bar{x}
\end{array} \right. #]
ㅇ 2차 원점 적률(모멘트) : 제곱평균(분산)에 대한 기대값
- [# m_2 = E[X^2] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum x^2 p_X(x) = σ^2 \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} x^2 f_X(x) dx = σ^2
\end{array} \right. #]
ㅇ 3차 원점 적률(모멘트) : 왜도(Skewness) 기대값 (분포의 비대칭 정도의 측도)
- [# m_3 = E[X^3] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum x^3 p_X(x) \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} x^3 f_X(x) dx
\end{array} \right. #]
ㅇ 4차 원점 적률(모멘트) : 첨도(Kurtosis) 기대값 (분포의 뽀족한 정도의 측도)
- [# m_4 = E[X^4] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum x^4 p_X(x) \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} x^4 f_X(x) dx
\end{array} \right. #]
ㅇ k차 원점 적률(모멘트)
- [# m_k = E[X^k] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum x^k p_X(x) \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} x^k f_X(x) dx
\end{array} \right. #]
5. 표현 例 : k차 중심 적률(모멘트)
ㅇ 0차 중심 적률(모멘트) : f(x)의 면적
- μ0 = 1
ㅇ 1차 중심 적률(모멘트) : 평균에 대한 기대값
- μ1 = 0
ㅇ 2차 중심 적률(모멘트) : 제곱평균(분산)에 대한 기대값
- [# μ_2 = σ^2_{X} = E[(X-\bar{X})^2] = \int^{\infty}_{-\infty} (x-\bar{x})^2 f_X(x) dx #]
* 2차 중심 적률(모멘트)와 원점 적률(모멘트) 간의 관계
[# σ^2_{X} = E[X^2 - 2\bar{X}X + \bar{X}^2] = E[X^2] - 2\bar{X}E[X] + \bar{X}^2 \\
= E[X^2] - \bar{X}^2 = m_2 - m^2_1 #]
* 2차 중심 적률은, 분산이 됨
6. 적률생성함수 (Moment Generating Function, MGF)
ㅇ 적률(모멘트)을 생성할 수 있는 특별한 함수의 기대값
- MX(t) = E[etX]