1. 대칭성 (Symmetry) 이란?
※ 함께 측정 (`syn` `metry` : Measure Together) 한다는 그리스어에서 유래
- 무언가 변해도 같이(같게) 측정된다는 의미
ㅇ 수학적으로, 대칭은, 얼핏 단순해 보이나, 매우 포괄적이고 추상적인 개념 임
- 어떤 변환(Transformation)을 겪더라도, 수학적 구조가 보존됨을 의미
. (도형) 이동/회전 전후에도 모양이 변하지 않음 (점들 간의 거리 보존 ☞ 등거리 변환)
. (연산) 어떤 조작을 가했을 때, 구분 불가능성(Indistinguishable)을 보이는 성질/규칙
. (대수) 대수 구조가 보존되는 경우를 일컬음 ☞ 자기동형사상 참조
- 한편, 대칭을 매우 추상화시켜 수학적으로 다루는 이론으로는, ☞ 군론 참조
ㅇ 물리적으로, 대칭성은 그 의미가 포괄적이고, 점점 확장 변천되어왔음
- 좌표축을 평행이동시키거나 회전시켜도 물리법칙이 성립함을 의미
. 한편, 벡터라는 수학적 도구는, 좌표계와 무관하게 물리법칙을 똑같게 표현 가능
- 만일, 조작/변형을 가한 전후에 변치 않는 성질이 있다면,
. 그 변환 과정을 대칭적이라고 하고,
- 이러한 사실은, 불변성과도 맥락을 같이 함
. 불변성(Invariance) : 물리 상태를 변환해도 변하지 않는 성질
. 즉, 시간/공간 좌표 등을 변환해도 달라지지 않는 성질 (좌표변환에도 불변)
- 또한, 대칭성 또는 불변성은 무언가를 보존한다라는 보존성 개념을 이끌어 냄
2. [수학]
ㅇ 도형의 대칭성
- 좌우 대칭 (lateral) : 좌우 부분을 뒤집어 겹치면 같음
. 例: 원,오각형,하트 모양 등
- 회전 대칭 (rotational)
. 例: 원,오각형(72도 회전) 등
- 병진 대칭 (translational)
* 例) 정삼각형의 대칭성
. 대칭 요소 : 6개의 대칭 요소를 가짐
. 변환 종류 : 항등 변환, 회전 변환(120도,240도 회전), 반사 변환(3변 각각 중점에서 반사)
. 6개의 대칭 요소(항등,회전,반사 변환)을 통해 군(대칭군)을 이룸
ㅇ 신호/함수의 대칭성 ☞ 우대칭, 기대칭 참조
- 복소수 신호/함수의 공액 대칭 ☞ 헤르미트 대칭 참조
ㅇ 행렬의 대칭성 ☞ 대칭행렬 참조
ㅇ 불변성,대칭성을 다루는 수학 이론 ☞ 군론 (Group Theory) 참조
3. [물리]
※ 물리계의 대칭성은 보존법칙을 이끌어냄
- 에너지 보존, 운동량 보존법칙 등
- 물리법칙이 대칭성을 가질 경우, 이와 대응하여 보존되는 물리량(운동량,에너지 등)을 갖음
ㅇ 공간 대칭성 ☞ 대칭 조작, 강체 변환 참조
- 병진 대칭성 (Translational Symmetry, 평행이동 대칭성)
. 점 간 거리를 그대로 유지하며(형태유지), 모든 질점이 같은 직선 또는 곡선 궤적을 따름
.. 例) 공간 평행이동 대칭성 ☞ 선 운동량 보존법칙
- 회전 대칭성 (Rotational Symmetry)
. 어떤 물리량들(각운동량 L2 등) 또는 기하학적인 양들(벡터의 길이,점 간 거리 등)이
공간의 회전에 대해서 불변하는 성질 (즉, 방향 대칭성)
.. 例) 공간 회전 대칭성 ☞ 각 운동량 보존법칙
- 반사 대칭성 (Reflection Symmetry), 거울 대칭성 (Mirror Symmetry)
. 면을 기준으로 양쪽이 같아보임
.. 평면이 공간을 두 부분으로 나눔
ㅇ 시간 대칭성 (Time Symmetry)
- 시간이 지나도(진행해도) 같은 현상이 되풀이됨
. 例) 시간 평행이동 대칭성 ☞ 에너지 보존법칙
ㅇ 내부 대칭성 (물질 대칭성)
- 물질 구조 및 물질의 기본 입자가 지닌 대칭성
. 例) 물질 - 반물질, 전하 반전 등
3. [결정]
ㅇ 결정(結晶)의 기하학적 대칭 ☞ 결정 대칭 등 참조