1. 벡터 (Vector)
ㅇ 이공학 분야에서 많이 사용되는 수학적인 양(量) 표현 기법
- 거리,무게,속력 등 크기만을 나타내는 1 차원적인 양(量)인 스칼라와는 달리,
- 힘,속도 등과 같이 크기(量) 및 방향(方向) 등 2 차원 이상의,
- 즉, 2 이상의 원소(요소)들에 의해, 어떤 양(量)을 표현하는데 유용한 표기법
2. 벡터의 여러 정의들
ㅇ 기하학적인 측면 : 유향 선분
- 크기 및 방향에 의한 표현
. 例) 힘,모멘트,변위,속도,가속도,운동량,열유동 등
ㅇ 대수적인 측면 : 수 또는 함수들의 나열
- 실수 또는 복소수 또는 함수를 원소(성분)로 갖는 순서쌍(Ordered Pair/n-tuple)
. 例) 좌표, 벡터 함수 등
ㅇ 추상적 대상(object) : 벡터공간 상에서 대수적 성질을 갖는 것
- 대수적 성질을 공리로 이용한 벡터공간 내의 대상을 추상화한 것
. 例) 무한 실수 수열, 연속 함수, 행렬 등도 벡터 형태로 나타낼 수 있음
3. 벡터의 표기
ㅇ 기하학적 측면 : 시작점과 끝점(통상,작용점)을 연결하는 유향선분으로 표시
- 벡터는 획이 굵은 활자체 문자 또는 문자 위에 윗 화살표를 그어 표기
[# \mathbf{F} \quad \overrightarrow{AB} #]
ㅇ 대수적 측면 : 소문자 볼드체로 표시
[# \mathbf{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)
= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} x_{1} \ x_{2} \ \cdots \ x_{n} \end{bmatrix}^T #]
4. 벡터의 특징
ㅇ 수학적 도구
- 벡터는 대수학적인 면과 기하학적인 면 모두를 가진 수학적 도구.
ㅇ 일반화된 표현
- 벡터는, 좌표계와 무관하게 (독립적으로), 기하학적 정리,물리법칙,이론들을 표현할 수 있음.
ㅇ 간결성
- 벡터는 벡터 미분연산자 등을 이용하여 간결하고 일반적인 방법으로 표시하기가 용이함.
5. 기하학에서의 벡터 (벡터에 대한 기하학적인 접근방법)
ㅇ 벡터의 기하학적 표현
- 화살꼴(arrow) 또는 방향선분(directed line segment) 표현
. 벡터를 기하학적 길이(크기)와 방향을 갖는 양(量)으로 표현
.. 시작점 및 끝점에 의한 유향선분(有向線分)으로 크기 및 방향을 표현
- 벡터를 그 크기 및 두 벡터 간의 각도에 의해서도 표현하기도 함 (극좌표 표현)
- 例) 위치 벡터, 거리 벡터, 장(場) 벡터 등
ㅇ 벡터의 차원(Dimension)
- 기하학적 벡터 개념은 물리학/공학에서 대부분 2차원(R2), 3차원(R3)에서 이루어지나,
- 보다 고차원 공간(Rⁿ)에서의 벡터로 확장될 수 있음
6. 대수학에서의 벡터 (벡터에 대한 대수학적인 접근방법)
ㅇ 벡터의 성분 (component)
- 벡터를 좌표 성분들인 수(좌표값)의 대수적 집합으로 표현할 수 있음
ㅇ 벡터의 차원 (Dimension)
- n-차원 벡터
. n개의 원소를 갖는 벡터 = n개 원소를 갖는 순서쌍(n-tuple) : {# \vec{x} = (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) #}
. 주로, 수직 열벡터(Column Vector)로 표현됨
.. 행 벡터 (Row Vector)
{# \vec{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \ x_{2} \ \cdots \ x_{n} \end{bmatrix} #}
.. 열 벡터 (Column Vector)
{# \vec{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} \ x_{2} \ \cdots \ x_{n} \end{bmatrix}^T #}
ㅇ 벡터를 보다 추상적인 개념으로 확장이 가능
- 대수학에서 말하는 벡터는, 기하학적 벡터 개념에서의 확장 임
. `벡터 공간`이라는 정의 내에서의 대상(object)를 말함
.. 이 경우에 함수(Function)도 벡터로 볼 수 있음
- [참고] ☞ 벡터공간(Vector Space), 행렬(Matrix), 대수구조, 유한체 등 ...
7. 벡터의 연산
ㅇ 벡터의 상등(동등) ☞ 벡터 상등 참조
ㅇ 벡터의 크기 (|x| 또는 ‖x‖) ☞ 노름 참조
ㅇ 벡터의 정규화 (n = x/|x|) ☞ 벡터 정규화, 단위 벡터 참조
ㅇ 벡터의 대수적 연산 (선형 연산) ☞ 벡터 연산 참조
- 벡터의 덧셈
- 벡터의 곱셈 (스칼라곱셈,내적,외적,직접곱)
ㅇ 벡터의 미분,적분
- 벡터 함수 : 임의의 점에서 벡터로 주어지는 함수 F(t) = ( f₁(t), f₂(t), f₃(t) )
- 벡터 미분 연산자 : 델 연산자 ∇
. 기울기 연산자, 발산 연산자, 회전 연산자 등 참조
8. 주요 벡터
※ ☞ 벡터 종류 참조
- 위치 벡터, 변위 벡터, 법선 벡터, 방향 벡터, 동경 벡터, 영 벡터, 단위 벡터 등