Inner Product Space   내적 공간

1. 내적 공간 (Inner Product Space)

  ㅇ 실수체 ℝ 또는 복소수체 ℂ 위의 벡터공간 V에서, 두 벡터 x, y ∈ V 에 대해,
     - 내적이라 불리는 이항연산 < x, y > : V x V → ℝ (또는 ℂ)이 정의되어 있으며, 
     - 4가지 공리를 만족하는 구조임

  ㅇ 즉, 내적이 정의됨으로써, 
     - 두 벡터 사이의 관계(길이,각도 등)를 대수적으로 표현할 수 있는 벡터공간을 말함


2. 내적공간 공리  

  ㅇ  대칭성 
     -  (실수)  x·y = y·x  또는  < x,y > = < y,x >
        . 실수 공간에서는, 단순히 대칭 관계. 즉, < x, y > = < y, x >
     -  (복소수)  < x,y > = < y,x >*
        . 복소수 공간에서는, 두 내적이 서로 컬레 관계. 즉, < x, y > = < y, x >*
  ㅇ  분배성 (분배 법칙)
     -  (x + y)·z = x·z + y·z  또는  < x + z,y > = < x,y > + < z,y >
  ㅇ  동차성 (스칼라배 결합 법칙) 
     -  (k x)·y = x·(k y) = k (x·y)  또는  < kx,y > = < x,ky > = k< x,y >
  ㅇ  양의 정부호성
     -  x·x ≥ 0  또는  < x,x > ≥ 0 (등호는 x = 0 일때만 성립)


3. 내적 공간 성질

  ㅇ 노름을 정의함
     - 자기 자신과의 내적으로, 노름(Norm)을 정의함

  ㅇ 영 벡터와의 내적은 영(0) 
     -  < x,0 > = 0

  ㅇ 복소수 내적의 실수부 관계
     -  < x,y > + < y,x > = 2 Re [< x,y >]

  ㅇ 삼각부등식
     - ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

  ㅇ Cauchy–Schwarz 부등식
     - |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖‖y‖