1. 극값 (Extreme Value, Extremal Value, Extremum)
※ 함수값이 어떤 구간에서 가장 크거나 작은 값이 되는 점
- 크게, `절대 극값`, `상대 극값`으로 구분
ㅇ 절대 극값/극점 : (최대값, 최소값) [대역/전역 극값]
- 최대값/최댓값 (Maximum Value, Absolute Maxima, Global Maximum)
. 주어진 함수값 중 최대인 값
. (절대적 극대값, 전역적 극대값 이라고도 함)
- 최소값/최솟값 (Minimum Value, Absolute Minima, Global Minimum)
. 주어진 함수값 중 최소인 값
. (절대적 극소값, 전역적 극소값 이라고도 함)
* 쉽게, 구간 끝점을 포함해서, 최대/최소인 단일 값
ㅇ 상대 극값/극점 : (극대값, 극소값) [국소 극값, 국지 극값]
- 극대점/극대값 (Local Maximum, Relative Maximum)
. 국소적(지역적)으로 최대인 상대 최대값
- 극소점/극소값 (Local Minimum, Relative Minimum)
. 국소적(지역적)으로 최소인 상대 최소값
* 쉽게, 구간 끝점은 제외되고, 국지적으로 만 최대/최소가 되는, 다수의 점일 수 있음
* 상대 극값의 성질상 구분
- 강 국지적 극소/극대 (Strong Local Minima/Maxima)
. 주변 내에서 유일하게 한 점으로 극소/극대화 가능
- 약 국지적 극소/극대 (Weak Local Mminima/Maxima)
. 주변 내에서 다수의 점들이 극소/극대화될 수 있음
2. FONC, SONC, SOSC : 국지적 국소점이기 위한 조건들
ㅇ FONC (First-Order Necessary Condition, 1계 필요조건)
- 정상점이기 위한 필요조건. 즉, f'(x) = 0
ㅇ SONC (Second-Order Necessary Condition, 2계 필요조건)
- 극소이기 위한 필요조건. 즉, f" ≥ 0 이면 극소일 수도 있음
※ 모든 국지적 국소점들은, 위 두 조건을 반드시 만족해야 함
- 그러나, 이 둘을 만족하는 모든 점들이, 모두 국지적 국소점이 되지는 않음
※ 대부분의 최적화 문제들이, 국지적 국소점을 찾고 이를 국지적으로 최적으로 간주함
- 그러나, 국지적 국소점이 전역적 국소점인지는 모름
ㅇ SOSC (Second-Order Sufficient Condition, 2계 충분조건)
- 극소이기 위한 충분조건. 즉, f'(x) = 0 이고 f" > 0 이면 극소 임
3. `극값의 성질을 나타내는 점들`에 대한 구분 요약
※ ☞ 극값 성질 참조
- 정류점, 정상점 (Stationary Point, Stationary Value)
. 미분계수가 0 인 점 (어떤 점 c에서 f'(c) = 0 즉, 접선이 수평인 점)
- 변곡점 (Inflection Point)
. 증가에서 감소 또는 감소에서 증가로 바뀌는 점 (f'(c) = 0인 정류점에 포함됨)
- 안장점 (Saddle Point)
. 이변수 함수에서, 말의 안장 처럼, 극대,극소를 동시에 갖는 점
- 임계점,임계값 (Critical Point, Critical Value)
. 통상, 구간 끝점, 정류점(극대점/극소점,변곡점), 특이점 등 급격한 변화 점들을 모두 일컫음
- 특이점 (Singular Point)
. 미분계수가 존재하지 않는 점 (주로, 뾰족한 극대점 또는 극소점 등)
.. 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등